Spørgsmål:
Andre fordelinger end det normale, hvor gennemsnit og varians er uafhængige
Wolfgang
2010-11-10 00:27:48 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jeg spekulerede på, om der er nogen fordelinger ud over det normale, hvor middelværdien og variansen er uafhængige af hinanden (eller med andre ord, hvor variansen ikke er en funktion af middelværdien).

Jeg er ikke sikker på, om jeg forstår spørgsmålet korrekt. Spørger du, om der er nogen fordelinger bortset fra det normale, der er helt specificeret af middelværdien og variansen? I en eller anden forstand er varians en funktion af middelværdien, da det er et mål for spredningen omkring middelværdien, men jeg antager, at dette ikke er, hvad du har i tankerne.
du mener prøven betyder $ \ bar {X} = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ nX_i $ og prøvevarians $ \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n (X_i- \ bar {X}) ^ 2 $ er uafhængige. Godt spørgsmål ! måske at projicere en gaussisk tilfældig variabel holder uafhængighed?
Srikant har ret. Hvis spørgsmålet stilles om "prøve gennemsnit og varians", er svaret "nej". Hvis spørgsmålet drejer sig om befolkningens gennemsnit og varians, så er svaret ja; David giver gode eksempler nedenfor.
Bare for at afklare, hvad jeg mente er dette. For normalfordelingen karakteriserer middelværdien $ \ mu $ og variansen $ \ sigma ^ 2 $ fordelingen fuldt ud, og $ \ sigma ^ 2 $ er ikke en funktion af $ \ mu $. For mange andre distributioner er dette ikke tilfældet. For eksempel til binomialfordelingen har vi middelværdien $ \ pi $ og variansen $ n \ pi (1- \ pi) $, så variansen er en funktion af middelværdien. Andre eksempler er gammafordelingen med parametrene $ \ theta $ (skala) og $ \ kappa $ (form), hvor gennemsnittet er $ \ mu = \ kappa \ theta $ og variansen er $ \ kappa theta ^ 2 $, så variansen er faktisk $ \ mu \ theta $.
Overvej at ændre dit spørgsmål, da svaret, du kontrollerede som dit foretrukne svar, ikke * besvarer spørgsmålet, som det er (og det andet gør). I øjeblikket bruger du ordet "uafhængig" på en idiosynkratisk måde. Dit eksempel med Gamma viser dette: man kunne simpelthen repeterere Gamma med hensyn til middelværdien (mu) og variansen (sigma), fordi vi kan genoprette theta = sigma / mu og kappa = mu ^ 2 / sigma. Med andre ord er * funktionel * "uafhængighed" af parametrene normalt meningsløs (undtagen enkeltparametrefamilier).
To svar:
user1108
2010-11-10 01:09:47 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Faktisk er svaret "nej". Undersøgelsens uafhængighed og varians karakteriserer normalfordelingen. Dette blev vist af Eugene Lukacs i "A Characterization of the Normal Distribution", The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 13, nr. 1 (mar., 1942), s. 91-93.

Jeg vidste ikke dette, men Feller, "Introduktion til sandsynlighedsteori og dens anvendelser, bind II "(1966, s. 86) siger, at RC Geary beviste det også.

@onestop Jeg antager, at det er en uheldig artefakt i min alder. Det er ikke en underdrivelse at sige, at Fellers bøger revolutionerede, hvordan sandsynligheden blev gjort - verden over. En stor del af vores moderne notation skyldes ham. I årtier var hans bøger ** sandsynlighedsbøgerne at studere. Måske skulle de stadig være det. BTW: Jeg har tilføjet titlen til dem, der ikke har hørt om hans bøger.
Jeg har stillet spørgsmålet om anden sjov karakterisering ... http://stats.stackexchange.com/questions/4364/what-is-the-most-surprising-characterization-of-gaussian-distribution
Jay, tak for henvisningen til papiret fra Lukacs, som pænt viser, at samplingsfordelingen af ​​stikprøvernes gennemsnit og varians kun er uafhængig af normalfordelingen. Hvad angår det andet centrale øjeblik, er der nogle fordelinger, hvor det ikke er en funktion af det første øjeblik (David gav nogle gode eksempler).
Geary, R. C. (1936), "Fordelingen af ​​'studerendes' forhold for ikke-normale prøver", Journal of the Royal Statistical Society, Suppl. 3, 178–184.
David LeBauer
2010-11-10 00:52:16 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Bemærk: Læs svaret ved @G. Jay Kerns, og se Carlin og Lewis 1996 eller din foretrukne sandsynlighedsreference for baggrund om beregningen af ​​gennemsnit og varians som den forventede værdi og andet øjeblik af en tilfældig variabel.

A hurtig scanning af tillæg A i Carlin og Lewis (1996) giver følgende fordelinger, der i denne henseende svarer til det normale, idet de samme fordelingsparametre ikke bruges i beregningerne af middelværdien og variansen. Som påpeget af @robin, når beregning af parameterestimater ud fra en prøve kræves, at prøveværdien er beregnet til at beregne sigma.

Multivariat Normal

$$ E (X) = \ mu $$$$ Var (X) = \ Sigma $$

t og multivariat t:

$$ E (X) = \ mu $$$$ Var (X) = \ nu \ sigma ^ 2 / (\ nu - 2) $$

Dobbelt eksponentiel: stærk> $$ E (X) = \ mu $$$$ Var (X) = 2 \ sigma ^ 2 $$

Cauchy: Med en vis kvalifikation kunne det argumenteres at middelværdien og variansen af ​​Cauchy ikke er afhængig.

$ E (X) $ og $ Var (X) $ findes ikke

Reference

Carlin, Bradley P. og Thomas A. Louis. 1996. Bayes og Empiriske bayes Metoder til dataanalyse, 2. udg. Chapman og Hall / CRC, New York

I * enhver * placeringsskala familie vil middelværdien og variansen være funktionelt uafhængige på denne måde!
David, den dobbelte eksponentielle er et glimrende eksempel. Tak! Jeg tænkte ikke på den ene. T-fordelingen er også et godt eksempel, men er ikke E (X) = 0 og Var (X) = v / (v-2)? Eller gør Carlin et al. (1996) definerer en generaliseret version af t-distributionen, der forskydes i gennemsnit og skaleres med sigma ^ 2?
Du har ret, t-fordelingen synes ofte at være karakteriseret med et gennemsnit = 0 og varians = 1, men den generelle pdf for t leveret af Carlin og Louis inkluderer eksplicit både sigma og mu; parameteren nu tegner sig for forskellen mellem normal og t.


ⓘ
Denne spørgsmål og svar blev automatisk oversat fra det engelske sprog.Det originale indhold er tilgængeligt på stackexchange, som vi takker for den cc by-sa 2.0-licens, den distribueres under.
Loading...