Humoristisk nok skrev jeg netop et blogindlæg om netop dette emne: http://confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers- værker /

I det væsentlige er loven om store tal, at når antallet af forsøg på en tilfældig proces øges, vil gennemsnittet af disse forsøg nærme sig det faktiske gennemsnit (eller forventning for mere kompleks distributioner). Så hvis du vender en mønt en gang og får hoveder, er din sandsynlighed for hoveder = 1.0, når du vender flere og flere mønter, går du tættere og tættere på 0,50.

Forfatteren argumenterer for, at Apple vil have problemer i fremtiden på grund af noget, der faktisk slet ikke er relateret til loven om store tal. Når Apple bliver større, bliver den samme procentvise stigning i aktiekurs, indtjening osv. Sværere at nå i absolutte dollar. Grundlæggende er Apple nødt til at få større og større hits for at holde kursen.

At kæde det til en tilfældig proces, der konvergerer til et middel, kræver noget alvorlig mental gymnastik. Så vidt jeg kan sige, er påstanden, at "dine produkters storhed" er en tilfældig proces, og selvom Apple har haft en række "Over gennemsnittet" fantastisk, bliver de til sidst nødt til at konvergere mod et middel af "Middling ". Men det er virkelig velgørenhed over for forfatteren.

Bare fordi 500 milliarder er et stort antal betyder ikke "loven om store tal" det, der virker på det.

Her er gnidningen: Apple er så stort, at det kører mod loven om store tal.

Også kendt som den gyldne sætning med et bevis tilskrevet det schweiziske 17. århundrede matematiker Jacob Bernoulli, loven siger, at en variabel vil vende tilbage til et gennemsnit over en stor stikprøve af resultater. For de største virksomheder antyder det, at høj indtjeningsvækst og en hurtig stigning i aktiekursen vil aftage, efterhånden som disse virksomheder vokser sig stadig større.

Denne forvirrede virvar refererer faktisk til tre forskellige fænomener!

1. De (forskellige) love om store tal er grundlæggende i sandsynlighedsteorien til karakterisering af situationer, hvor det er rimeligt at forvente store prøver for at give stadig bedre information om en proces eller population, der samples. Faktisk var Jacob Bernoulli den første til at erkende behovet for at angive og bevise en sådan sætning, som dukkede op i hans postume Ars Conjectandi i 1713 (redigeret af nevø Nicholas Bernoulli).

   Der findes ingen tilsyneladende gyldig anvendelse af en sådan lov på Apples vækst.

2. Regression mod middelværdien blev først anerkendt af Francis Galton i 1880'erne. Det er dog ofte blevet undervurderet blandt forretningsanalytikere. For eksempel offentliggjorde Horace Secrist i begyndelsen af ​​1933 (i dybden af ​​en stor depression) sit magnum opus, Triumf of Mediocrity in Business. I det udgav han gennemgik grundigt forretningsserier og fandt i alle tilfælde tegn på regression mod middelværdien. Men uden at anerkende dette som et uudvindeligt matematisk fænomen, hævdede han, at han havde afdækket en grundlæggende sandhed om forretningsudvikling! Denne fejlslutning ved at forveksle et rent matematisk mønster som resultat af en eller anden underliggende kraft eller tendens (nu ofte kaldet "regressionfejl") minder om den citerede passage.

   (Det er bemærkelsesværdigt, at Secrist var en fremtrædende statistiker, forfatter til en af ​​de mest populære statistiske lærebøger, der blev offentliggjort på det tidspunkt. På JSTOR kan du finde en lacerating review af Triumph ... af Harold Hotelling offentliggjort i JASA i slutningen af ​​1933. I en efterfølgende brevveksling med Secrist skrev Hotelling

   Min anmeldelse ... var hovedsagelig helliget til at advare læsere om ikke at konkludere, at forretningsfirmaer har en tendens at blive middelmådig ... At "bevise" et sådant matematisk resultat ved en kostbar og langvarig numerisk undersøgelse ... er analog med at bevise multiplikationstabellen ved at arrangere elefanter i rækker og kolonner og derefter gøre det samme for mange andre slags dyr Forestillingen, selvom den måske er underholdende og har en vis pædagogisk værdi, er ikke et vigtigt bidrag hverken til zoologi eller til matematik.

   [JASA bind 29, nr. 186 (juni 1934 198, 199).)

   Passagen NY Times ser ud til at gøre det samme fejl med Apples forretningsdata.

3. Hvis vi læser videre i artiklen, afslører vi dog snart forfatterens tilsigtede betydning:

   Hvis Apples aktiekurs steg endda med 20 procent om året i det næste årti, hvilket er langt under det nuværende blærende tempo, dets markedsværdi på $ 500 milliarder dollars ville være mere end $ 3 billioner inden 2022.

   Dette er selvfølgelig en erklæring om ekstrapolering af eksponentiel vækst. Som sådan indeholder det ekko af forudsigelser af malthusisk befolkning. Farerne ved ekstrapolering er dog ikke begrænset til eksponentiel vækst. Mark Twain (Samuel Clements) pillede forsømmelige ekstrapolatorer i Life on the Mississippi (1883, kapitel 17):

   Nu, hvis jeg ville være en af ​​de tunge videnskabelige mennesker, og 'lad os' bevise ... hvad der vil ske i den fjerne fremtid af det, der er sket i de sene år, hvilken mulighed er her! ... Vær opmærksom på: -

   I løbet af hundrede og seksoghalvfjerds år har Nedre Mississippi forkortet sig to hundrede og toogfyrre miles. Det er et gennemsnit af bagatel over en kilometer og en tredjedel om året. Derfor kan enhver rolig person, som ikke er blind eller idiotisk, se, at den nedre Mississippi-flod i den "gamle oolitiske siluriske periode", for blot en million år siden næste november, var op til en million tre hundrede tusind miles lang og fast ud over Den Mexicanske Golf som en fiskestang. Og på samme måde kan enhver se, at syv hundrede toogfyrre år fra nu, Nedre Mississippi kun er en kilometer og tre fjerdedele lang, og Kairo og New Orleans vil have sluttet sig sammen til deres gader og plovet komfortabelt sammen under en en enkelt borgmester og et fælles bestyrelsesråd. Der er noget fascinerende ved videnskaben. Man får en sådan engangsafkast af formodninger ud af en sådan ubetydelig investering i faktum. ”

   (Min fremhævelse.) Twains satire kan sammenlignes med artiklens tilbud på forretning. analytiker Robert Cihra:

   Hvis du ekstrapolerer langt nok ud i fremtiden, for at opretholde den vækst, bliver Apple nødt til at sælge en iPhone til enhver mand, kvinde, barn, dyr og klippe på planeten.

   (Desværre ser det ud til, at Cihra ikke følger hans eget råd: han vurderer denne aktie som et "køb". Han kan have ret, ikke på grund af fortjeneste, men i kraft af større fjols teori.)

Hvis vi tager artiklen til at betyde "pas på at ekstrapolere tidligere vækst i fremtiden," får vi meget ud af det . Investorer, der synes, at dette selskab er et godt køb, fordi dets PE-forhold er lavt (hvilket inkluderer flere af de bemærkelsesværdige pengeforvaltere, der er citeret i artiklen), er ikke bedre end de "tunge videnskabelige mennesker", Twain skæv over en århundrede siden.

Et bedre kendskab til Bernoulli, Hotelling og Twain ville have forbedret nøjagtigheden og læsbarheden af ​​denne artikel, men i sidste ende ser det ud til at have fået beskeden rigtig.

Der er ingen grund til at tro, at aktiekursens træk over tid for et bestemt selskab repræsenterer uafhængige, identisk fordelte tilfældige variabler.