Da mange foruroligende uoverensstemmelser vises i kommentarer og svar, lad os henvise til nogle myndigheder.

James Hamilton definerer ikke engang en tidsserie, men han er klar over, hvad man er:

... dette sæt $ T $ numre er kun et muligt resultat af den underliggende stokastiske proces, der genererede dataene. Selvom vi forestiller os at have observeret processen i uendelig lang tid, når vi frem til sekvensen $$ \ {y_t \} _ {t = \ infty} ^ \ infty = \ {\ ldots, y _ {- 1}, y_0, y_1, y_2, \ ldots, y_T, y_ {T + 1}, y_ {T + 2}, \ ldots, \}, $$ uendelig rækkefølge $ \ {y_t \} _ {t = \ infty} ^ \ infty $ vil stadig blive betragtet som en enkelt realisering fra en tidsserieproces. ...

Forestil dig et batteri på $ I $ ... computere, der genererer sekvenser $ \ { y_t ^ {(1)} \} _ {t = - \ infty} ^ {\ infty}, $ $ \ {y_t ^ {(2)} \} _ {t = - \ infty} ^ {\ infty}, \ ldots, $ $ \ {y_t ^ {(I)} \} _ {t = - \ infty} ^ {\ infty} $ , og overvej at vælge den observation, der er knyttet til datoen $ t $ fra hver sekvens: $$ \ {y_t ^ {(1)}, y_t ^ {(2)}, \ ldots, y_t ^ {(I)} \}. $$ Dette vil blive beskrevet som en prøve på $ I $ realiseringer af den tilfældige variabel $ Y_t $ . ...

( Time Series Analysis , Chapter 3.)

Således er en "tidsserieproces" et sæt tilfældige variabler $ \ {Y_t \} $ indekseret af heltal $ t $ .

I Stokastiske differentialligninger giver Bernt Øksendal en standard matematisk definition af en generel stokastisk proces:

Definition 2.1.4. En stokastisk proces er en parametriseret samling af tilfældige variabler $ $ \ {X_t \} _ {t \ i T} $$ defineret på et sandsynlighedsrum $ (\ Omega, \ mathcal {F }, \ mathcal {P}) $ og forudsat værdier i $ \ mathbb {R} ^ n $ .

Parameterrummet $ T $ er normalt (som i denne bog) halvlinjen $ [0, \ infty) $ , men det kan også være et interval $ [a, b] $ , de ikke-negative heltal og endda undergrupper af $ \ mathbb {R} ^ n $ til $ n \ ge 1 $ .

At sætte de to sammen ser vi, at en tidsserieproces er en stokastisk proces indekseret af heltal.

Nogle mennesker bruger "tidsserier" til at henvise til en realisering af en tidsserieproces ( som i Wikipedia-artiklen). Vi kan se på Hamiltons sprog en rimelig indsats for at skelne processen fra realiseringen ved hjælp af "tidsserieproces", så han kan bruge "tidsserier" til at henvise til realiseringer (eller endda data).

En stokastisk proces er et sæt eller samling af tilfældige variabler $ \ left \ {X_t \ right \} $ (ikke nødvendigvis uafhængig), hvor indekset t tager værdier i et bestemt sæt, dette sæt er ordnet og svarer tiløjeblikke.eksempel tilfældig gåtur. Tidsserier Er realiseringen af den stokastiske proces.

Definition af en stokastisk proces

Lad $ (\ Omega, \ mathcal {F}, P) $ være et sandsynlighedsrum. Lad $ S $ være et andet målbart mellemrum (f.eks. Mellemrummet med reelle tal $ \ mathbb {R} $ span >). Taler noget upræcist:

• En tilfældig variabel er en målbar funktion fra $ \ Omega $ til $ S $ .
• En stokastisk proces er en familie af tilfældige variabler indekseret efter tid $ t $ .
  • Til enhver tid $ t \ in \ mathcal {T} $ er $ X_t $ en tilfældig variabel
  • For ethvert resultat $ \ omega \ i \ Omega $ , $ X (\ omega) $ er en realisering af den stokastiske proces, en mulig vej taget af $ X $ over tid.

Definition af en tidsserie

Mens en stokastisk proces har en krystalklar, matematisk definition. En tidsserie er en mindre præcis forestilling, og folk bruger tidsserier til at henvise til to relaterede men forskellige objekter:

1. Som WHuber beskriver, en stokastisk proces indekseret af heltal eller en regelmæssig, inkrementel tidsenhed, der på en måde kan kortlægges til heltal (f.eks. månedlige data).
2. En variabel observeret over tid (ofte med regelmæssige intervaller). Dette kunne være realiseringen af ​​en stokastisk proces. Nogle gange omtales dette som tidsseriedata.

Eksempel: to flip af en tack

Lad $ \ Omega = \ {\ omega_ {HH}, \ omega_ {HT}, \ omega_ {TH}, \ omega_ {TT} \} $ . Lad $ X_1, X_2 $ være resultatet af henholdsvis flip 1 og 2.

$$ X_1 (\ omega) = \ left \ {\ begin {array} {rr} 1: & \ omega \ i \ {\ omega_ {HH}, \ omega_{HT} \} \\ 0: & \ omega \ i \ {\ omega_ {TH}, \ omega_ {TT} \} \ end {array} \ højre.$$

$$ X_2 (\ omega) = \ left \ {\ begin {array} {rr} 1: & \ omega \ i \ {\ omega_ {HH}, \ omega_{TH} \} \\ 0: & \ omega \ i \ {\ omega_ {HT}, \ omega_ {TT} \} \ end {array} \ højre.$$

Så klart $ \ {X_1, X_2 \} $ er en stokastisk proces.Folk kan også kalde det en tidsserie, da indekseringen er med heltal.Folk kan også kalde realiseringen af $ X $ , f.eks. $ X (\ omega_ {HH}) = (H, H) $ , en tidsserie eller tidsseriedata.

Forskellen mellem en stokastisk proces og en tidsserie ligner forskellen mellem en kat på et tastatur og et svar på Stack Exchange: Katte på tastaturer kan give svar, men katte på tastaturer er ikke svar. Desuden produceres ikke alle svar af en kat på et tastatur.

En tidsserie kan forstås som en samling af tidsværdi – datapunktpar. En stokastisk proces på den anden side er en matematisk model eller en matematisk beskrivelse af en fordeling af tidsserier¹. Nogle tidsserier er en realisering af stokastiske processer (af begge slags). Eller fra et andet synspunkt: Jeg kan bruge en stokastisk proces som model til at generere en tidsserie.

Desuden kan tidsserier også genereres på andre måder:

• De kan være resultatet af observationer og genereres således af virkeligheden. Selvom jeg kan modellere virkeligheden som en stokastisk proces (jeg kan også sige, at jeg betragter virkeligheden som en stokastisk proces), er virkeligheden ikke en stokastisk proces på samme måde som det indre af en kasse ikke er en sæt af punkter (selvom vi ofte betragter de to ækvivalente i modelleringskontekster).

• De kan genereres ved deterministiske processer. Strengt taget kunne vi (og uden tvivl burde) definere stokastiske processer og deterministiske processer på en måde, som sidstnævnte er specielle tilfælde af førstnævnte, men vi bruger meget sjældent dette og taler om deterministiske processer som specielle tilfælde af stokastiske processer kan forårsage en vis forvirring - du kan sammenligne det med at kalde $ x = 2 $ et system af ikke-lineære ligninger.

^{¹ Hvis det er en diskret stokastisk proces. Kontinuerlig tid stokastisk proces er fordeling af funktioner snarere end tidsserier.}

Jeg sætter pris på alle bidragede diskussioner / kommentarer om emnet Time series vs Stochastic process.Her er min forståelse af forskellen: Tidsserier er et observeret fænomen, registreret som en række tal, der indekseres med tiden ved observation;det er sandsynligvis en række observationer af et virkeligt fænomen som aktiekurser på New York Stock Exchange.På den anden side forstås stokastisk proces som altid en matematisk repræsentation (ikke en produktion) af tidsserien.