Start med den grundlæggende idé om variation. Din startmodel er summen af ​​de kvadratiske afvigelser fra gennemsnittet. R ^ 2-værdien er den andel af den variation, der tages højde for ved hjælp af en alternativ model. For eksempel fortæller R-kvadrat dig, hvor meget af variationen i Y, du kan slippe af med ved at opsummere de kvadrerede afstande fra en regressionslinie snarere end middelværdien.

Jeg tror, ​​dette er gjort helt klart hvis vi tænker på det enkle regressionsproblem, der er planlagt. Overvej et typisk spredningsdiagram, hvor du har en forudsiger X langs den vandrette akse og et svar Y langs den lodrette akse.

Middelværdien er en vandret linje på plottet, hvor Y er konstant. Den samlede variation i Y er summen af ​​kvadratiske forskelle mellem gennemsnittet af Y og hvert enkelt datapunkt. Det er afstanden mellem den gennemsnitlige linje og hvert enkelt punkt i kvadrat og sammenlagt.

Du kan også beregne et andet mål for variabilitet, når du har regressionslinjen fra modellen. Dette er forskellen mellem hvert Y-punkt og regressionslinjen. I stedet for hver (Y - middelværdien) kvadreret får vi (Y - punktet på regressionslinjen) kvadratisk.

Hvis regressionslinjen er alt andet end vandret, får vi mindre total afstand, når vi bruger denne tilpassede regressionslinje snarere end gennemsnittet - det vil sige, at der er mindre uforklarlig variation. Forholdet mellem den forklarede ekstra variation og den originale variation er din R ^ 2. Det er andelen af ​​den oprindelige variation i dit svar, der forklares ved at tilpasse den regressionslinie.

Her er nogle R-koder til en graf med middelværdien, regressionslinjen og segmenterne fra regressionslinjen til hvert punkt for at hjælpe med at visualisere:

  biblioteksdata (ggplot2) data (trofast) plotdata <- samlet (udbrud ~ ventetid, data = trofast, FUN = middel) linefit1 <- lm (udbrud ~ venter, data = plotdata) plotdata $ forventet <- forudsig (linefit1)
plotdata $ tegn <- rester (linefit1) > 0p <- ggplot (plotdata, aes (y = udbrud, x = ventende, xend = ventende, yend = forventet)) p + geom_point (form = 1, størrelse = 3) + geom_smooth (metode = lm, se = FALSK) + geom_segment (aes (y = udbrud, x = ventende, xend = ventende, yend = forventet, farve = tegn), data = plotdata) + tema (legend.position = "ingen") + geom_hline (yintercept = middelværdi (plotdata $ udbrud), størrelse = 1)  

En matematisk demonstration af forholdet mellem de to er her: Pearsons korrelation og mindste kvadraters regressionsanalyse.

Jeg er ikke sikker på, om der er en geometrisk eller enhver anden intuition, der kan tilbydes bortset fra matematikken, men hvis jeg kan tænke på en, opdaterer jeg dette svar.

Opdatering: Geometrisk intuition

Her er en geometrisk intuition, jeg kom på. Antag at du har to variabler $ x $ og $ y $, som er middelcentrerede. (Hvis vi antager, at middelcentreret lader os ignorere skæringspunktet, der forenkler den geometriske intuition lidt.) Lad os først overveje geometrien af ​​lineær regression. I lineær regression modellerer vi $ y $ som følger:

$ y = x \ beta + \ epsilon $.

Overvej situationen, når vi har to observationer fra ovenstående data genereringsproces givet af parene ($ y_1, y_2 $) og ($ x_1, x_2 $). Vi kan se dem som vektorer i to-dimensionelt rum som vist i nedenstående figur:

alt tekst http://a.imageshack.us/img202/669/linearregression1.png

Således, med hensyn til ovenstående geometri, er vores mål at finde en $ \ beta $ således, at vektoren $ x \ \ beta $ er tættest på vektoren $ y $. Bemærk, at forskellige valg af $ \ beta $ skalerer $ x $ passende. Lad $ \ hat {\ beta} $ være værdien af ​​$ \ beta $, der er vores bedst mulige tilnærmelse til $ y $, og betegne $ \ hat {y} = x \ \ hat {\ beta} $. Således

$ y = \ hat {y} + \ hat {\ epsilon} $

Fra et geometrisk perspektiv har vi tre vektorer. $ y $, $ \ hat {y} $ og $ \ hat {\ epsilon} $. En lille tanke antyder, at vi skal vælge $ \ hat {\ beta} $, så tre vektorer ligner den nedenfor: alt tekst http://a.imageshack.us/img19/9524/intuitionlinearregressi.png

Med andre ord skal vi vælge $ \ beta $ således at vinklen mellem $ x \ \ beta $ og $ \ hat {\ epsilon} $ er 90 ^{0 sup >.}

Så hvor meget variation i $ y $ har vi forklaret med denne projektion af $ y $ på vektoren $ x $. Da data er middelcentreret, er variansen i $ y $ lig med ($ y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2 $), hvilket er kvadratet for afstanden mellem det punkt, der er repræsenteret af punktet $ y $ og oprindelsen. Variationen i $ \ hat {y} $ er på samme måde afstanden fra punktet $ \ hat {y} $ og oprindelsen og så videre.

Ved den Pythagoras sætning har vi:

$ y ^ 2 = \ hat {y} ^ 2 + \ hat {\ epsilon} ^ 2 $

Derfor er andelen af ​​variansen forklaret med $ x $ $ \ frac {\ hat {y} ^ 2} {y ^ 2} $. Bemærk også, at $ cos (\ theta) = \ frac {\ hat {y}} {y} $. og wiki fortæller os, at den geometriske fortolkning af korrelation er, at korrelation er lig med cosinus for vinklen mellem de middelcentrerede vektorer.

Derfor har vi det krævede forhold:

(Korrelation) ² = Andel af variation i $ y $ forklaret med $ x $.

Håber det hjælper.

Applet Regression By Eye kan være til nytte, hvis du prøver at udvikle noget intuition.

Det lader dig generere data og gætte derefter en værdi for R , som du derefter kan sammenligne med den aktuelle værdi.