Det ser ud til, at du bruger $ n $ to gange på to forskellige måder - både som stikprøvestørrelse og som antallet af bernoulli-forsøg, der omfatter den binomiale tilfældige variabel; for at eliminere enhver tvetydighed skal jeg bruge $ k $ til at henvise til sidstnævnte.

Hvis du har $ n $ uafhængige prøver fra en $ {\ rm Binomial} (k, p) $ distribution, er variansen af ​​deres prøve gennemsnit

$$ {\ rm var} \ left (\ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ right) = \ frac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ {n} {\ rm var} (X_ {i}) = \ frac {n {\ rm var} (X_ {i})} {n ^ 2} = \ frac {{\ rm var} (X_ {i})} {n} = \ frac {k pq} {n} $$

hvor $ q = 1-p $ og $ \ overline {X} $ er den samme betyde. Dette følger, da

(1) $ {\ rm var} (cX) = c ^ 2 {\ rm var} (X) $, for enhver tilfældig variabel, $ X $ og enhver konstant $ c $.

(2) variansen af ​​en sum af uafhængige tilfældige variabler er lig med summen af ​​afvigelser.

Standardfejlen på $ \ overline {X} $ er kvadratroden af ​​variansen: $ \ sqrt {\ frac {k pq} {n}} $. Derfor

• Når $ k = n $, får du den formel, du påpegede: $ \ sqrt {pq} $

• Når $ k = 1 $, og binomialvariablerne bare er bernoulli-forsøg, får du den formel, du har set andre steder: $ \ sqrt {\ frac {pq} {n}} $

Det er nemt at forveksle to binomiale fordelinger:

• fordeling af antal succeser
• fordeling af andelen af ​​succeser

npq er antallet af succeser, mens npq / n = pq er forholdet mellem succeser. Dette resulterer i forskellige standardfejlformler.

Vi kan se på dette på følgende måde:

Antag, at vi laver et eksperiment, hvor vi har brug for at kaste en upartisk mønt $ n $ gange. Det samlede resultat af eksperimentet er $ Y $, som er summen af ​​individuelle kast (f.eks. Hoved som 1 og hale som 0). Så for dette eksperiment, $ Y = \ sum_ {i = 1} ^ n X_i $, hvor $ X_i $ er resultatet af individuelle kast.

Her er resultatet af hver kast, $ X_i $, følger en Bernoulli-fordeling, og det samlede resultat $ Y $ følger en binomialfordeling.

Det komplette eksperiment kan betragtes som en enkelt prøve. Således, hvis vi gentager eksperimentet, kan vi få en anden værdi på $ Y $, som vil danne en anden prøve. Alle mulige værdier på $ Y $ udgør den samlede population.

Når vi vender tilbage til den enkelte møntkast, der følger en Bernoulli-fordeling, gives variansen med $ pq $, hvor $ p $ er sandsynligheden af hoved (succes) og $ q = 1 - p $.

Hvis vi ser på variationen på $ Y $, er $ V (Y) = V (\ sum X_i) = \ sum V (X_i) $. Men for alle individuelle Bernoulli-eksperimenter er $ V (X_i) = pq $. Da der er $ n $ kast eller Bernoulli forsøg i eksperimentet, $ V (Y) = \ sum V (X_i) = npq $. Dette indebærer, at $ Y $ har varians $ npq $.

Nu er prøveandelen givet af $ \ hat p = \ frac Y n $, hvilket giver 'andelen af ​​succes eller hoveder'. Her er $ n $ en konstant, da vi planlægger at tage det samme antal møntkast til alle eksperimenterne i befolkningen.

Så, $ V (\ frac Y n) = (\ frac {1} {n ^ 2}) V (Y) = (\ frac {1} {n ^ 2}) (npq) = pq / n $.

Så standardfejl for $ \ hat p $ ( en eksempelstatistik) er $ \ sqrt {pq / n} $

Jeg tror, ​​der er også en vis forvirring i det første indlæg mellem standardfejl og standardafvigelse. Standardafvigelse er kvadratet af variansen for en distribution; standardfejl er standardafvigelsen for det estimerede gennemsnit af en prøve fra denne fordeling, dvs. spredningen af ​​de midler, du ville observere, hvis du gjorde den prøve uendeligt mange gange. Førstnævnte er en iboende egenskab ved fordelingen; sidstnævnte er et mål for kvaliteten af ​​dit skøn over en ejendom (middelværdien) af distributionen. Når du udfører et eksperiment med N Bernouilli-forsøg for at estimere den ukendte sandsynlighed for succes, er usikkerheden ved din estimerede p = k / N efter at have set k-succeser en standardfejl i den estimerede andel, sqrt (pq / N) hvor q = 1 -p. Den sande fordeling er kendetegnet ved en parameter P, den sande sandsynlighed for succes. Hvis du lavede et uendeligt antal eksperimenter med N-forsøg hver og så på fordelingen af ​​succeser, ville det have betyde K = P * N, varians NPQ og standardafvigelse sqrt (NPQ).